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この記事 逆チェビシェフ・フィルタ理論は，次の記事の続編として書かれています．チェビシェフに関する基礎を踏まえて いますので，次の記事も参照してみてください．

1. バターワース・フィルタを考える（参考）
2. チェビシェフ・フィルタ理論
3. チェビシェフ・フィルタの特徴
4. 高次ローパスフィルタ伝達関数からハイパスフィルタをつくる

逆チェビシェフ・フィルタとは？

いきなりですが，逆チェビシェフ・フィルタと通常のチェビシェフ・フィルタの周波数特性を表示してみました．逆チェビシェフ・フィルタ は上図(上)，遮断域に振動があり，透過域がバターワース特性に近いことが特徴です．通常のチェビシェフ・フィルタは，上図(下)のよう にゲイン・リップル振動の位置が透過域に振動があり異なります．また，遮断域では，バターワース特性に近づきます．

逆チェビシェフ・フィルタの理論

以前，記述したチェビシェフ・フィルタは，チェビシェフ多項式を伝達関数に応用したフィルタです． ここでは，このチェビシェフ多項式を応用したもうひとつのフィルタである，逆チェビシェフ・フィルタを解説します．

まず，最初にチェビシェフ多項式をおさらいしておきます．チェビシェフ多項式は， C_n(x) = cos nθ， x=cos θとしたとき三角関数の加法定理から導き出されたものです．


さて，以前解説したチェビシェフ・フィルタは，このチェビシェフ多項式C_n(x)を 次式のように伝達関数の周波数応答に応用しました．

　　　　---(1)

C_n(x)は，多項式ですので， x>1で急激に大きくなります．よって(1)式は，ω>1で分母が急激に大きくなり 伝達関数としては，ω>1で減衰域になります．

ここでは，このチェビシェフ多項式C_n(x)の特徴を逆に 次のように利用します．

　　　　---(11)

(1)式に対して(2)式は，チェビシェフ多項式C_n(ω)を逆数にしています ので，ω≤1で 0 ≤ C_n(ω) ≤ 1 ですので， C_n(ω)=0の場合には，伝達関数としては零点となります．また， ω>1でC_n(ω)は急激に大きくなり，伝達関数|G(jω)|としては， 1に収束します．


よって，(2)式に示す逆チェビシェフ・フィルタ伝達関数は，ハイパス・フィルタとなります．（逆チェビシェフ・フィルタのローパス・フィルタは後述します．） まず，この(2)式の逆チェビシェフ・ハイパス・フィルタの極と零点を求めていきます．

(11)式は，次のように変形できます．

　　　　---(11)

ここで，分母に着目すると，(1)式と同じであることがわかりますので，極は以前求めたチェビシェフ・フィルタの極がそのまま使えます． よって

　--(10)
m=1,2,3・・・n

---

ωとC_n(ω)を求めます．両者は， 以前のチェビシェフ・フィルタ理論で求めていますので，引用します． 既読の方は，飛ばしてください．

これら(2)(3)式は，実数を示す項と，虚数を示す項に分解されています．さてこれを踏まえて，(12)式から零点を求めていきます． 零点の条件は，[分子]=0ですから，

　　εC_n(ω)=0　　---(12)

この式に(3)式を導入します．
　　　　---(13)
この式から，左辺の実部および虚部が0であることから．
　　
まず，上式ではExponentialの指数関数が0になることはありませんから，cos nθが0ということになります．ので極におけるθの条件が 求められます．
　　　　---(14)
m=1,2,3・・・n

つづいて下式では，(14)式を導入するとsinは -1 か 1 になります．ので
　　

この式をσについて解くと，
　　σ=0　　---(15)

チェビシェフ・フィルタ極の導出にずいぶん似た展開でしたね．つづいてsとωの関係についても，前記事より引用． 既読の方は，飛ばしてください．

(7)より，(15)(14)式を導入して零点を求めます．

　　　　---(16)
m=1,2,3・・・n

(10)(16)式から，逆チェビシェフ・ハイパス・フィルタの伝達関数を求めることができます．
　　

上図は，８次逆チェビシェフ・ハイパス・フィルタの周波数応答です．このフィルタは，チェビシェフ多項式をチェビシェフ・フィルタに 対して逆数で利用していますのでフィルタの特性は，ハイパス・フィルタになります．では，ローパス・フィルタは，といますと， 伝達関数に代数的手法を用いて，ハイパス・フィルタをローパス・フィルタに変換する方法があります． こちらを参照ください．

逆チェビシェフ・フィルタの伝達関数を求める フィルタの次数： 2 3 4 5 カットオフ周波数：Hz 遮断域リップル上限：dB フィルタタイプの選定： LPF HPF