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チェビシェフ・フィルタの極

チェビシェフ・フィルタの理論の解説のなかで，伝達関数の極を求めました． 極は次のツールで計算／グラフにプロットできます．

　--(10)
m=1,2,3・・・n
　　　　---(9)

チェビシェフ・フィルタの周波数応答

3,5,7,9次（奇数）チェビシェフ・フィルタの周波数応答
　
2,4,6,8次（偶数）チェビシェフ・フィルタの周波数応答
　

チェビシェフ・フィルタは，カットオフ周波数ω_c付近での位相遅れが大きくなることが特徴のひとつです． バターワースの場合は，同じ次数で半分程度ですので．．．

チェビシェフ・フィルタを構成する各二次フィルタ＋一次フィルタは，それぞれのカットオフ周波数ω_cmが， フィルタ全体としてのカットオフ周波数ω_cより小さく設定されるため，バターワースのように各構成フィルタの カットオフ周波数ω_cmがフィルタ全体のカットオフ周波数ω_cと同一に設定される場合よりも， 位相遅延が大きくなります．（各カットオフ周波数は上のツールで確認できます）．

チェビシェフ・フィルタは，構成する各フィルタのカットオフ周波数ω_cmが，全体カットオフ周波数ω_cから 離れるほど減衰比が大きく（最大１），近づくほど減衰比が小さく設定されます． 前者の低ω_cmによって減衰するゲインを，後者のフィルタの増幅（低減衰比）によって補う構造になります．

チェビシェフ・フィルタのゲイン・リップル

チェビシェフの奇数次数のフィルタと偶数次数のフィルタでは，ゲイン振動のリップルの位置が異なります． 奇数次数では，0dBを境に（対数表現において）マイナス側に，偶数次数では，プラス側に振動するのがグラフから読むことができます．

　　　　---(1)

この特徴は，(1)式のもともとの周波数応答にはありませんでした．(1)式は，次数によらずマイナス側のリップルだけが組み込まれて います．しかし，(9)(10)式の導入によって伝達関数をつくる段階で(1)式の周波数応答が再現されていないのです．それは， 極の情報だけを与えて，伝達関数を設計する場合，フィルタ全体のゲインの情報が織り込まれないためです．（数学的には単に比例ゲイン 1/√(ε²+1)を偶数次数の伝達関数に掛ければ解決しますが．．．）

in

→

→

→・・・→

→

out

上図は，ローパス・フィルタにおける伝達関数の構成で，pは(10)から求められる極です． フィルタを構成するすべての一次フィルタのω=0[rad/s]（直流）信号入力時のゲインは，１倍（0dB）になります． よって，フィルタ全体でもω=0[rad/s]（直流）におけるゲインは，次数によらず１倍（0dB）になります．

もともと，チェビシェフ多項式（C_n）は-1〜1の振動をもち，チェビシェフ・フィルタでは，同多項式を２乗して使いますので 0〜1の範囲に振動します．ここで，C_n²(ω=0)の値が，nが偶数の場合は １，nが奇数の場合 ０となることから， フィルタ全体の伝達関数の振動としては，ω=0においてゲイン（１倍）を基準にC_nの振動が，nが奇数の場合０→１となり， nが偶数の場合は１→０となるため，フィルタのゲイン・リップルが上下に分かれます．

電子回路でチェビシェフ・フィルタを構成する際，偶数次数の場合に，抵抗分圧のような比例ゲインを与えて(1)の理論式に近づけることはできます． しかし，一般に直流（ω=0[rad/s]）におけるゲインが１倍にならないため積極的には導入しにくいでしょう．そのため過渡の増幅 （オーバーシュート）を嫌う場合には，奇数次数のフィルタが選択されることが多いと思います．
　

チェビシェフ・フィルタのゲイン・リップルと遮断特性の関係

チェビシェフ・フィルタの周波数応答は，このフィルタのパラメータであるゲイン・リップルによって減衰特性を調整することができます． 下図は５次チェビシェフ・フィルタのゲイン・リップルを振ったときの周波数特性を図示しています．
　
−Butterworth 5次，−リップル２dB ，−リップル５dB，−リップル１０dB

ゲイン・リップルが大きく設定されると，フィルタに構成されている一次／二次のフィルタが低いカットオフ周波数に設定されることは 前記の通りで，極プロット（ツール）を見てもわかります．そのため，フィルタ全体として減衰特性が本来，低周波側に設定されている ことになります．カットオフ周波数ωc付近で減衰比による増幅で持ち上げられていても，その増幅がωc 以上の領域では，急速に減衰してもともとのωcから-20dB/decadeのラインに漸化しますので，フィルタ全体としては，減衰 が低周波化することになります．言いかえれば，より落ちるフィルタに設定できます． チェビシェフ・フィルタのシミュレーション 伝達関数Widgetを使ったチェビシェフ・フィルタの各種応答のシミュレーションです． ■n次チェビシェフ・フィルタのシミュレーション フィルタの次数： 2 3 4 5 カットオフ周波数：Hz リップル（ゲイン振動幅）：dB