極位置と伝達関数の特徴2

n次系伝達関数の一般式を次の式2-3-40としたとき,この伝達関数の発散・収束,振動について考えます.

   式2-3-40

式2-3-40を部分分数に分解します.(部分分数についてはこちらを参照

   式2-3-41

式2-3-41のpxは伝達関数G(s)の極になります.この伝達関数G(s)の単位インパルス応答から特徴を考えます.式2-3-41からインパルス過渡応答を導くと,ラプラス変換表(表2-1-3のNo.4)より

   式2-3-42

式2-3-42のように eの指数関数になります.ここで,pxは一般に複素数です.pxを次のように置くと

  pxx+jωx

式2-3-42は

   式2-3-43

ここで極 pの実数部σに着目すると,t → ∞で

  σx > 0  で発散
  σx < 0  で収束
  σx = 0  で無減衰

の特徴が分かると思います.

続いて,振動について考えます.振動はインパルス応答過渡関数にsinなど振動要素が含まれます.

そこで,先に説明した2次系伝達関数と振動の関係を応用していきます.式2-3-41について,ある2点の極 pkpl(の項)を使って2次系伝達関数の要素を次のように抽出していきます.

  

この式を次のように置くと.

   式2-3-44

このように2次系伝達関数を伝達関数G(s)に含めて重ね合わせとして考えることができ,2次系伝達関数の特徴(極位置またはζと振動との関係)を踏まえて考えることができます.詳細はすでに説明していますのでこちらを参照

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