スペクトル
フーリエ級数のセクションでは，周期関数について直流成分，sin とcos の要素に分解して抽出してきました．ここではそれらの要素を複素数を使うことで統一したパラメータで表現します．
次に示す数式は，複素数によるフーリエ級数展開とフーリエ係数です．
| フーリエ級数展開 |
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| フーリエ係数 |
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ただし n=・・・-2，-1，0，1，2・・・
ここでcnを（複素）スペクトルと言います．式2-2-8によって求められるスペクトルは周波数成分の大きさの他，位相情報も含みます．
式2-2-7 複素フーリエ級数について解説
三角関数を用いたフーリエ級数およびフーリエ係数（フーリエ係数の解説はこちら参照）は次式のように与えられます．
| フーリエ級数展開 |
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| フーリエ係数 |
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ここで上式2-2-1の式中に含むsin およびcos をオイラーの関係式を使って示します．まず，オイラーの関係式は次の次の通り．
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式2-2-9 |
この関係をフーリエ級数（式2-2-1）に代入すると
ここで
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ただし n=1，2，3，・・・ 式2-2-10 |
とcnをおきます．すると
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式2-2-11 |
と示せます．
さらに，ここでc0を
とおき，さらにn の範囲を負の領域に広げ，n = ・・・-2，-1，0，1，2 ・・・とすることで，式2-2-11に含む２つのΣを統合すると
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ただし n=・・-2，-1，0，1，2・・ 式2-2-12 |
と示すことができます．
式2-2-8複素フーリエ係数について解説
つづいてフーリエ係数の関係式（式2-2-2）（an，bn）からcnを求めていきます．まず，式2-2-10に式2-2-2を代入すると
ここでオイラーの関係式
より
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ただし n=1，2，3，・・・ 式2-2-13 |
ここで，nの範囲を負の領域に広げ，n=1，2，3，・・・から n=・・・-2，-1，0，1，2・・・として，式2-2-13の両式を統合することができます．
するとcnは
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ただし n=・・-2，-1，0，1，2・・ 式2-2-14 |
と示すことができます．